Höhere Mathematik am Beispiel Differentialquotient

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      Höhere Mathematik am Beispiel Differentialquotient

      Exkurs: Um heute studieren zu können, sind Kenntnisse in höherer Mathematik in der Regel unumgänglich. Und auch für die Handwerksberufe wird die Mathematik immer wichtiger - in Kombination mit Computerkenntnissen. In diesem Zusammenhang möchte ich erwähnen, dass die Schulbildung auf den Sklavenschulen was Mathematik oder andere sehr wichtige Fächer angeht, absolut unzureichend ist. Ich wiederhole mich zwar, aber es ist Fakt, dass niemand, der nicht extreme Hilfe durch seine Eltern oder Verwandtschaft erhält, überhaupt das Niveau bekommen kann, um studieren zu können. Egal wie intelligent er ist. Dafür ist der Unterricht zu schlecht, die Lehrer sind zu schlecht und das Unterrichtsmaterial ist zu schlecht. Wenn jemand vorhat aus eigener Kraft zu studieren, ohne Unterstützung seiner Verwandtschaft oder das Wunder einen guten Lehrer zu haben, dann muss er sich außerhalb der Schule massiv informieren. Und das wird ne echt krass scheiß langatmige und zeitraubende Aufgabe werden. Aber immerhin heute gibt es durch das Internet und durch die damit zur Verfügung gestellten kostenlosen Informationen tatsächlich die Möglichkeit für jemanden, der absolut keine Hilfe bekommt, aber den Willen und die notwendige Intelligenz besitzt, sich einigermaßen beispielsweise höhere Mathematik anzueignen. Ich weiß zwar nicht wie die offizielle Definition lautet, aber für mich ist alles höhere Mathematik, was über das Rechnen mit den Grundrechenarten hinaus geht. Also Geometrie, Algebra, Trigonometrie, Wahrscheinlichkeitsrechnung, Vektorrechnung sowie Analysis, also Differential- und Integralrechnung usw.

      Exkurs2: Was verdanken wir eigentlich unserem Fortschritt. Dafür sind in erster Linie prinzipiell drei Dinge verantwortlich. Erstens den Menschen, die die Voraussetzungen geschaffen haben im mathematischen und naturwissenschaftlichen Bereich. Dazu zähle ich auch die Erfinder. Dann zweitens die Menschen, die das Handwerk betrieben haben. Weil nur durch sie konnten immer komplexere Maschinen gebaut werden usw. Und drittens Ordnung. Also geordnete Verhältnisse. Wenn ständig Krieg herrscht und ständig Menschen sich gegenseitig umbringen, also anarchistische Verhältnisse, dann kann es logischerweise keinen Fortschritt geben.

      Aber in diesem Beitrag versuche ich so simpel als möglich den Differentialquotienten zu erklären. Es geht um folgendes Problem. Wir haben einen Graphen der Funktion x², sprich f(x) = x². Das heißt wir haben eine Kurve. Und das Problem lautet jetzt, dass man für jeden Punkt der Kurve im karthesischen Koordinatensystem die Steigung ermitteln möchte. Das hat zum Beispiel im kaufmännischen oder auch physikalischen Bereich dann seine praktischen Anwendungen, wenn man irgendetwas von Bedeutung berechnen möchte.

      Wir nehmen uns zwei Punkte x und x + h. Verbinden die beiden dadurch errechneten Funktionswerte und erhalten eine sog. Sekante, die die Kurve an zwei Punkten schneidet. Wir verbinden diese Sekante mit den zugrundelegenden Strecken x bis x + h und f(x) bis f(x + h) entlang der Sekante zu einem sog. Steigungsdreieck. Ohne etwas zeichnen zu können ist das wirklich nicht besser erklärbar.

      Wir wissen, dass f(x) / x einer linearen Funktion f(x) = mx die Steigung m ist. Deshalb ist der Quotient: (f(x + h) - f(x)) / (x + h) - x oder kurz (f(x + h) - f(x)) / h die Steigung der betrachteten Sekante.

      Nun wollen wir noch ermitteln wie die Steigung am Punkt x ist. Wir stellen uns daher vor wie der Abstand h zu x immer geringer wird, also die beiden Punkte f(x) und f(x + h) immer weiter zusammenrücken - bis schließlich die Steigung der Sekante mit der Steigung an x der Funktion f(x) = x² übereinstimmt.

      Zu diesem Zweck schreibt man h 0 (man spricht: h geht gegen 0). Davor müssen wir die Formel allerdings umwandeln, da ansonsten einfach 0 herauskäme, wenn wir das einsetzen würden, was im Übrigen in dem Fall mathematisch auch illegal wäre, weil durch 0 nicht geteilt werden kann, da kein eindeutiges Ergebnis herauskommt.

      wir setzen also x + h bzw. x in die Funktion f(x) = x² ein:

      (x² + 2hx + h² - x²) / h, das ergibt ausgerechnet (dieses Mal ohne Nenner):

      2x + h.

      Da h gegen 0 geht lautet das Ergebnis 2x. Das Ergebnis ist der Differentialquotient von f(x) = x². Damit können wir jetzt die Steigung jedes beliebigen Punktes des Graphen x² berechnen. Es ist 2x.

      Man schreibt kurz f'(x) = 2x. (man liest f strich von x oder 1. Ableitung von f(x)).

      Durch weitere Untersuchungen findet man dann die sog. Ableitungsregeln heraus, aber das führt zu weit. Bei den Potenz-Funktionen gilt allgemein f'(x) = e * x ^ (e - 1), wobei e der Exponent der Funktion f(x) = x ^ e ist.

      Also zum Beispiel ist f(x) = 3x³ abgeleitet f'(x) = 9x². Das ist die Ableitung oder der Differentialquotient von f(x).

      Um diese Begrifflichkeiten wirklich verstehen zu können sind allerdings elementare Kenntnisse in der Mathematik notwendig, beispielsweise muss man wissen, was Verkettungen von Funktionen sind. Da solche Dinge aber - zumindest auf dem Westberliner Gymnasium, auf dem ich zur Schule ging - nicht durchgenommen werden, kann man normalerweise die Sache gar nicht verstehen. Es ist nicht die einzige Sache. Es gibt ganz bedeutende Dinge, die man sich bewusst und wirklich verstehen muss, zum Beispiel das Assoziativgesetz, das Kommutativgesetz und das Distributivgesetz oder die Binomischen Formeln etc. Das sind ganz wichtige Dinge und auch darauf weisen die Lehrer gar nicht hin, dass das ganz elementare Dinge sind, die man verstehen muss und im Langzeitgedächtnis speichern muss, um dann später überhaupt höhere Mathematik verstehen zu können. Mal abgesehen davon, dass meine Mathelehrer wirklich absolut nicht erklären konnten. Und wie gesagt ich bin ein Genie. Ich sollte eigentlich alles verstehen. Damals meinte der Lehrer, dass die Mathematiker, die sich das ausgedacht haben, Genies gewesen sind. Wir müssten es ja nur verstehen, das wäre leicht. Gut, ich habe damals nur Bahnhof verstanden, aber aus heutiger Sicht, kann ich eine Meinung dazu abgeben. Die sich das ausgedacht haben, offiziell wird dafür zum Beispiel Sir Isaac Newton verantwortlich gemacht, waren jetzt keine Supergenies. Eigentlich, wenn man nichts anderes macht und die Mathematik gut beherrscht und verinnerlicht hat, kann man auf so etwas kommen. Man muss kein Supergenie sein.

      Aber gut, die Mathematik, die dahinter steht, ist ja noch wesentlich komplizierter. Es ist auch deshalb sehr schwer für einen Schüler aus einer Nichtakademikerfamilie, weil die Mathematiker eine Art Geheimsprache entwickelt haben. Zum Beispiel haben bestimmte griechische (eigentlich hellenistische) Buchstaben ne bestimmte Bedeutung. Und je nachdem welcher Buchstabe verwendet wird, hat es eine andere mathematische Bedeutung. Oder ein x und y ist was anderes als ein a und ein b. Das wird von keinem Lehrer erklärt, das sind aber die Grundlagen. Und die muss man erst mal lernen. Das war zu meiner Schulzeit absolut unmöglich. Weil man muss sich das bewusst machen, was das wirklich bedeutet. Heute ist es unter Schmerzen und unter krasser Zeitverschwendung mit Hilfe des Internets und eigenem Nachdenken einigermaßen möglich das selbst zu erarbeiten. Aber gut nen Spitzenmathematiker wird man dadurch nicht. Egal wie intelligent man ist, weil das einfach zu uneffektiv und zu zeitaufwendig ist so zu lernen, aber man wird vielleicht ganz gut. Wenn man motiviert und talentiert ist - aus eigener Kraft, d. h. ohne jegliche Hilfe von außen. Zumindest kann man gut genug werden, um die Grundlagen zu kapieren. Und die eigenen Kinder von einem, werden dann vielleicht wirklich gute Mathematiker, weil man dann auch helfen kann.

      Ein anderes Problem ist, dass das in der Regel vollkommen unabhängig von praktischen Problemen betrachtet wird, also warum das überhaupt ne Bedeutung hat, erfahren die Jugendlichen in der Regel nicht. Das ist dann natürlich auch langweilig. Weil man sich dann fragt, okay, alles in Ordnung, aber warum sollte mich der Scheiß überhaupt interessieren? Deshalb wäre es zum Beispiel wichtig Fächer wie Mathematik genau mit anderen Fächern wie Physik oder Informatik, wo mathematische Kenntnisse praktisch angewendet werden, genau aufeinander abzustimmen. Und nicht, dass ich dann in Physik die Kenntnisse der Mathematik benötige, die ich vor 3 Monaten durchgenommen hatte oder vor 3 Jahren etc. Und das wird so nicht abgestimmt. Jeder Lehrer macht so sein Ding. Und das ist Chaos. Also auf Sklavenschulen. Die Hellenen unterrichten sich selbst und ihre Mittäter ganz anders.

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      Interessante Sicht der Dinge, die ich als Mathematiker aber nicht inhaltlich diskutieren möchte.

      Nur so viel: Mit dem Niveau der Mathematiklehrer an unseren Schulen hast Du recht. Um Mathematik zu verstehen muß man eigentlich nur zählen können und braucht jemanden der es richtig erklärt. Meine letzte Nachhilfeschülerin die ich aus Gefälligkeit für ihre Eltern unterrichtet habe habe ich von Fünf auf Eins Plus gebracht.

      Und noch was: Was Du als "höhere Mathematik" bezeichnest ist immer noch Schulmathematik. Das Mathestudium ist eine ganz andere Schiene. Aber das nur nebenbei. :)

      "Der deutsche Soldat hat, getreu seinem Eid, im höchsten Einsatz für sein Volk für immer Unvergeßliches geleistet. Die Heimat hat ihn bis zuletzt mit allen Kräften unter schwersten Opfern unterstützt. Die einmalige Leistung von Front und Heimat wird in einem späteren gerechten Urteil der Geschichte ihre endgültige Würdigung finden. (Letzter Wehrmachtbericht, 9. Mai 1945 um 20:03)"

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      Das mit dem Differentialquotienten hast du gut erklärt. Bin lange aus der Schule raus, aber das deckt sich noch mit dem was ich gelernt hab.

      Mathematik wird in verschiedenen Stufen gelehrt. Die meisten müssen sie nur anwenden. Ingenieure und Physiker z.B. müssen die Herleitung der Analysis nicht wissen, aber mit Dgl. und Integralen müssen sie schon umgehen können. Mathematisches Tiefenverständnis ist nur selten erforderlich, z.B. in der Grundlagenforschung. Oder wennn man Mathe studiert.
      Doch wer für Tand und Schande ficht, den hauen wir zu Scherben,
      der soll im deutschen Lande nicht, mit deutschen Männern erben.

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      Ein Mathematiker muß vor allem kreativ sein. Ich erkläre es an einem Beispiel.

      Es wird ja oft spekuliert wie lange es noch dauert bis Maschinen "intelligenter" sind als wir. Dann werden Beispiele angeführt, Schachprogramme beispielsweise die jedem menschlichen Spieler überlegen sind. Aber was machen solche Programme? Die erschaffen nichts sondern arbeiten mit brutaler Gewalt indem sie in Sekunden Milliarden von Varianten durchrechnen.

      Nehmen wir jetzt mal einen simplen mathematischen Beweis. Ich setze voraus daß jeder von Euch weiß was eine Primzahl ist. Wie viele Primzahlen gibt es? Schon die alten Griechen wußten daß es unendlich viele sind. Das kann man auf vielfache Art beweisen, die klassische Methode ist: Man nehme eine beliebige Menge von Primzahlen. Nun multipliziert man alle diese Zahlen miteinander und addiert zum Ergebnis eins dazu. Die entstandene Zahl kann durch keine der Primzahlen in der Ausgangsmenge teilbar sein, also gibt es mindestens eine weitere Primzahl durch die diese Zahl teilbar ist. Diesen Vorgang kann man beliebig oft fortsetzen indem man die neugewonnene Zahl der Menge zufügt, also gibt es unendlich viele Primzahlen.

      Dieser Beweis ist sehr simpel. Aber ist irgendwo auch nur in weiter Ferne ein Computer in Sicht der auf eine solche Idee kommen könnte? Nein. EIn Computer kann vielleicht Billionen von Primzahlen ermitteln, aber auf diesen einfachen Beweise kommt er nicht. Dazu benötigt es Phantasie, und die ist nicht programmierbar.

      "Der deutsche Soldat hat, getreu seinem Eid, im höchsten Einsatz für sein Volk für immer Unvergeßliches geleistet. Die Heimat hat ihn bis zuletzt mit allen Kräften unter schwersten Opfern unterstützt. Die einmalige Leistung von Front und Heimat wird in einem späteren gerechten Urteil der Geschichte ihre endgültige Würdigung finden. (Letzter Wehrmachtbericht, 9. Mai 1945 um 20:03)"

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      Der Computer ist ein Werkzeug, er kann keine mathematischen Beweise entwickeln, aber er kann überprüfen ob sie korrekt sind.

      Me262 schrieb:

      Man nehme eine beliebige Menge von Primzahlen. Nun multipliziert man alle diese Zahlen miteinander und addiert zum Ergebnis eins dazu. Die entstandene Zahl kann durch keine der Primzahlen in der Ausgangsmenge teilbar sein,
      Warum nicht? Warum kann z.b. 3*5*p+1 nicht durch 5 teilbar sein? Dazu gehört sicherlich einiges an Vorwissen dazu.
      Doch wer für Tand und Schande ficht, den hauen wir zu Scherben,
      der soll im deutschen Lande nicht, mit deutschen Männern erben.

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      Me262 schrieb:




      Es wird ja oft spekuliert wie lange es noch dauert bis Maschinen "intelligenter" sind als wir. Dann werden Beispiele angeführt, Schachprogramme beispielsweise die jedem menschlichen Spieler überlegen sind. Aber was machen solche Programme? Die erschaffen nichts sondern arbeiten mit brutaler Gewalt indem sie in Sekunden Milliarden von Varianten durchrechnen.
      Danke! Endlich mal jemand, der sich auskennt. Ich sage jedesmal bei dem Thema, es gäbe keine Künstliche Intelligenz, da man dieser die Algorithmen ja erst einhämmern muss, die sie anschließend anwendet.

      Stimmt das soweit, oder ist das Küchenmathematik?

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      Wildschwein schrieb:

      Warum nicht? Warum kann z.b. 3*5*p+1 nicht durch 5 teilbar sein?
      Weil zwei aufeinanderfolgende Zahlen nicht durch dieselbe Zahl (außer 1) teilbar sein können.

      "Der deutsche Soldat hat, getreu seinem Eid, im höchsten Einsatz für sein Volk für immer Unvergeßliches geleistet. Die Heimat hat ihn bis zuletzt mit allen Kräften unter schwersten Opfern unterstützt. Die einmalige Leistung von Front und Heimat wird in einem späteren gerechten Urteil der Geschichte ihre endgültige Würdigung finden. (Letzter Wehrmachtbericht, 9. Mai 1945 um 20:03)"

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      Dresdner schrieb:

      Stimmt das soweit, oder ist das Küchenmathematik?
      Doch, das stimmt. KI gäbe es erst dann wenn man dem Computer sagen könnte: Denk Dir einen Algorithmus (oder einen Beweis) für das und das Problem aus.

      "Der deutsche Soldat hat, getreu seinem Eid, im höchsten Einsatz für sein Volk für immer Unvergeßliches geleistet. Die Heimat hat ihn bis zuletzt mit allen Kräften unter schwersten Opfern unterstützt. Die einmalige Leistung von Front und Heimat wird in einem späteren gerechten Urteil der Geschichte ihre endgültige Würdigung finden. (Letzter Wehrmachtbericht, 9. Mai 1945 um 20:03)"

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      Wildschwein schrieb:

      Das mag stimmen, aber wieso ist das so?
      Haben zwei Zahlen einen gemeinsamen Teiler so muß dieser Teiler auch ihre Differenz teilen (Lemma von Euklid). DIe Differenz ist in dem Fall 1, und 1 hat nur sich selbst als Teiler.

      "Der deutsche Soldat hat, getreu seinem Eid, im höchsten Einsatz für sein Volk für immer Unvergeßliches geleistet. Die Heimat hat ihn bis zuletzt mit allen Kräften unter schwersten Opfern unterstützt. Die einmalige Leistung von Front und Heimat wird in einem späteren gerechten Urteil der Geschichte ihre endgültige Würdigung finden. (Letzter Wehrmachtbericht, 9. Mai 1945 um 20:03)"

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      Ich habe ein bisschen danach geforscht. Für den Beweis der Undenlichkeit der Primzahlen nimmt man zuerst eine "höchste" Primzahl h an. Dann multipliziert man alle Primzahlen: 2 * 3 * 5 * 7 * ... * h und addiert 1 dazu. Das Ergebnis ist nicht mehr in Primfaktoren zerlegbar, sollte es eine höchste Primzahl geben. Nach dem Fundamentalsatz der Arithmetik ist aber jede Zahl in Primfaktoren zerlegbar. Daraus folgt ...

      • das Ergebnis ist selbst eine Primzahl (und damit größer als die "höchste" Primzahl)
      • das Ergebnis ist Teilbar durch eine Primzahl, die größer als die höchste Primahl ist
      Somit ist also die Annahme "Es gibt eine höchste Primzahl" falsch. Beweis durch Widerspruch.

      Siehe: de.wikipedia.org/wiki/Satz_von_Euklid
      Doch wer für Tand und Schande ficht, den hauen wir zu Scherben,
      der soll im deutschen Lande nicht, mit deutschen Männern erben.

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      Wildschwein, das ist das was ich weiter oben geschrieben habe.

      Du hast es anders formuliert. Und dabei hast Du einen Fehler gemacht. Was Du aufgeschrieben hast ist kein echter Widerspruchsbeweis. Bei einem Widerspruchsbeweis macht man aus einer Ursprungsannahme logische Folgerungen, wenn die irgendwann einen logischen Widerspruch ergeben muß die Ursprungsannahme falsch sein.

      Was hast Du gemacht? Du hast zwar gesagt "Angenommen es gibt eine höchste Primzahl", hast dann aber nicht daraus etwas gefolgert sondern unabhängig davon bewiesen daß es eine solche nicht gibt. Du bist aber entschuldigt denn selbst die "Deutsche Mathematiker-Vereinigung" macht auf ihrer Seite exakt den gleichen Fehler.


      "Der deutsche Soldat hat, getreu seinem Eid, im höchsten Einsatz für sein Volk für immer Unvergeßliches geleistet. Die Heimat hat ihn bis zuletzt mit allen Kräften unter schwersten Opfern unterstützt. Die einmalige Leistung von Front und Heimat wird in einem späteren gerechten Urteil der Geschichte ihre endgültige Würdigung finden. (Letzter Wehrmachtbericht, 9. Mai 1945 um 20:03)"

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      Interessant wird es wenn man die Fragestellung etwas erweitert. Es ist nicht schwer zu beweisen daß es unendlich viele Primzahlen gibt.

      Wie aber sieht es mit Primzahlzwillingen aus? Das sind Primzahlen die sich nur um die Differenz 2 unterscheiden. also etwa 17 und 19 oder 41 und 43.

      Wie viele gibt es? Unendlich oder endlich viele?

      Das ist eine einfache Fragestellung und dennoch ist sie unbeantwortet. Man vermutet zwar daß es unendlich viele gibt aber der Beweis ist noch nicht gelungen. Vielleicht schafft ihn ja eines fernen Tages ein Computer. Dann sind wir Menschen wirklich überflüsig! ;)

      "Der deutsche Soldat hat, getreu seinem Eid, im höchsten Einsatz für sein Volk für immer Unvergeßliches geleistet. Die Heimat hat ihn bis zuletzt mit allen Kräften unter schwersten Opfern unterstützt. Die einmalige Leistung von Front und Heimat wird in einem späteren gerechten Urteil der Geschichte ihre endgültige Würdigung finden. (Letzter Wehrmachtbericht, 9. Mai 1945 um 20:03)"

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      Me262 schrieb:

      Wie aber sieht es mit Primzahlzwillingen aus? Das sind Primzahlen die sich nur um die Differenz 2 unterscheiden. also etwa 17 und 19 oder 41 und 43.

      Wie viele gibt es? Unendlich oder endlich viele?

      Das ist eine einfache Fragestellung und dennoch ist sie unbeantwortet.
      Ich denke diese Frage hängt mit Frage nach der "nächsten Primzahl" zusammen, also ausgehend von p(n) auf p(n+1) zu kommen. Sollte das eines Tages gelingen, hätte es vermutlich dramatische Auswirkungen auf die Zahlentheorie und verwandte Gebiete, wie etwa Kryptographie.
      Doch wer für Tand und Schande ficht, den hauen wir zu Scherben,
      der soll im deutschen Lande nicht, mit deutschen Männern erben.

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      Wildschwein schrieb:

      Ich denke diese Frage hängt mit Frage nach der "nächsten Primzahl" zusammen, also ausgehend von p(n) auf p(n+1) zu kommen.
      Das ist nicht möglich und das ist bereits bewiesen. Die Primzahlen sind weitgehend willkürlich verteilt. Es gibt aber eine Annäherung an die Anzahl der Primzahlen, den sogenannten Primzahlsatz. Die Anzahl der Primzahlen die kleiner sind als eine gegebene Zahl n nähert sich immer mehr der Funktion n geteilt durch ln (n) an. ln ist der "natürliche Logarithmus", der Logarithmus mit der Eulerschen Zahl e als Basis.

      "Der deutsche Soldat hat, getreu seinem Eid, im höchsten Einsatz für sein Volk für immer Unvergeßliches geleistet. Die Heimat hat ihn bis zuletzt mit allen Kräften unter schwersten Opfern unterstützt. Die einmalige Leistung von Front und Heimat wird in einem späteren gerechten Urteil der Geschichte ihre endgültige Würdigung finden. (Letzter Wehrmachtbericht, 9. Mai 1945 um 20:03)"

      Dieser Beitrag wurde bereits 1 mal editiert, zuletzt von Me262 ()

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      Me262 schrieb:

      Das ist nicht möglich und das ist bereits bewiesen.
      Möglich ist es schon, zum Beispiel damit: mathworld.wolfram.com/EllipticCurvePrimalityProving.html
      Die Sache hat nur den Nachteil, dass bei größeren Zahlen auch mehr Rechenschritte nötig sind (in dem Fall ln(n)^4) . Wer eine Methode findet, die die folgende Primzahl in konstanter Zeit berechnet, dürfte weltberühmt werden.
      Doch wer für Tand und Schande ficht, den hauen wir zu Scherben,
      der soll im deutschen Lande nicht, mit deutschen Männern erben.